В предыдущей статье мы рассказали про базовые показатели отдельного актива, которые интересны сами по себе. Для решения задач портфельных инвестиций (в частности практической реализации теории Г.Марковица, о которой мы расскажем в следующих статьях) бо’льший интерес представляют портфели и их показатели, которые расчитываются на основе входящих в них активов. В этой статье мы рассмотрим базовые показатели портфеля.

Итак, строго говоря портфель – это множество, состоящее из пар: $\left\{ (a_1, w_1), (a_2, w_2), \ldots, (a_n, w_n) \right\}$, где $a_i$ – это актив из предыдущей статьи, и $w_i: \left\{ w_i \in \mathbb{R} \mid 0 \leq w_i \leq 1 \right\}$ – вес актива, и $i \in \mathbb{N}$ в общем случае, но из соображений статистики, о которых мы расскажем в следующих статьях, не превышает $10$.

Каждый показатель портфеля аналогичен по смыслу соответствующему показателю актива. И каждый показатель портфеля вычисляется на основе составляющих его активов.

Для избежания путаницы в обозначениях, далее мы будем обозначать показатель с верхним индексом $p$, относящийся к портфелю, а с верхним индексом $a$ – относящийся к активу. Например, $ROR^p$ и $ROR^a$ – доходность портфеля и актива соответственно.

Доходность

Все определения мы дали в предыдущей статье. Здесь и далее приведём только формулы для вычислений:

Доходность (Rate of Return):

Накопленная доходность (Accumulated Rate of Return):

Реальная доходность (Real Rate of Return):

Накопленная реальная доходность (Real Accumulated Rate of Return):

Каждое из значений в Python вычисляется так:

> ror_p = (np.array([asset.rate_of_return() for asset in assets]) * weights).sum(axis=0)
> aror_p = (ror_p + 1.).cumprod() - 1.
> ror_p_real = (ror_p + 1.) / (inflation + 1.) - 1.
> aror_p_real = (aror_p + 1.) / (inflation_accumulated + 1.) - 1.

Идея вычисления ror_p словами выражается так: массив накопленных доходностей каждого актива поэлементно умножается на соответствующий вес массива весов weights, а далее вычисляется сумма значений, равная накопленной доходности портфеля. Остальные значения вычисляются способом, знакомым из предыдущей статьи.

Этот код правильно отработает в контексте, в котором заранее определены:

• массив assets из объектов типа class PortfolioAsset, в котором определены методы rate_of_return, compound_annual_growth_rate, risk:

class PortfolioAsset:
  def rate_of_return(): pass

  def compound_annual_growth_rate(): pass

  def risk(): pass

Конкретные реализации тел методов можно подставить из предыдущей статьи.

• массив вещественных чисел weights. Ограничения:
  • weights.sum() == 1.
  • weights.size == assets.size
  • np.all(0.0 <= weights and weights <= 1.0)

Риск

Вычисление месячного риск и риска, приведённого к году, выполняется ровно также, как и для актива:

Вычисление в Python:

> risk_p_monthly = ror_p.std()
> ror_p_mean = (1. + ror_p).mean()
> risk_p_yearly = np.sqrt((risk_p_monthly**2 + ror_p_mean**2)**12 - ror_p_mean**24)

Среднегодовая доходность

Среднегодовая доходность (CAGR) портфеля вычисляется по формуле:

где $T_i=\frac{t_i - t_1}{12}$ – рациональное число равное количеству лет. Вычисляется в Python:

Реальная среднегодовая доходность (Real CAGR) портфеля вычисляется по формуле:

Что после простых преобразований эквивалентно формуле:

Вычисляется в Python:

> cagr_p = (ror_p + 1.).prod() ** (1 / years_total) - 1.
> cagr_p_real = (ror_p_real + 1.).prod() ** (1 / years_total) - 1.
> cagr_p_real = (cagr_p + 1.) / (inflation_accumulated[-1] + 1.) - 1.